SVT Extraction et identification de quelques microfossiles

Extraire des microfossiles, ce n'est pas facile surtout sans la loupe...

Que dire de l'identification...

On a ainsi pu déterminer que les microfossiles présents datés de la fin du Crétacé... Une information essentielle pour la résolution de notre énigme.

MATHEMATIQUES. L'impasse

Après ce que l'on vient de faire, on a du mal à imaginer que l'aire d'un polygone régulier dont le périmètre vaut 52,6 cm puisse valoir 100 cm².
Pour prouver cela on pourrait montrer que plus il y a de côtés, plus l'aire sera grande. Mais pour le faire il faudrait utiliser des connaissances de première et terminale.

Mais à défaut de le prouver mathématiquement, on en est assez convaincu pour se dire que le polynôme ne peut pas être un polygone régulier, car si son périmètre vaut 52,6 cm, l'aire sera toujours plus grande que 100 cm².

MATHEMATIQUES. Traitons les tous!

Résumons nous.
Nous avons essayé un prisme dont la base a 3 côtés (triangle), 4 côtés (carré), 5 côtés (pentagone), et 6 côtés (hexagone). Mais aucun n'a convenu. Il reste à voir les prismes dont la base a 7 (heptagone), 8 (octogone), 9, 10 (décagone)... côtés. Il y en a une infinité! L'année n'y suffira pas. Comment faire?
Ne pourrait-on pas traiter tous les cas en même temps? Impossible? Essayons, on verra.
On dit que le prisme a un polygone de base à n côtés, n étant un entier supérieur ou égal à 3.
La longeur de chaque côté est alors de 56,2 / n.
Notre polygone peut alors se décomposer, non pas en 6 ou 5 triangles, mais en n triangles isocèles de sommet le centre du polygone.
Or l'aire de chacun de ces triangles est : base x hauteur / 2.
La base on sait, est 56,2 / n.
Pour la hauteur, on fait un peu de trigonométrie dans un demi-triangle comme pour le pentagone. L'angle au sommet est naturellement 360/n. Et dans un demi-triangle ça va être 180 / n.
La hauteur sera alors : ( 56,2 / (2n) ) / tan (180/n).
L'aire d'un triangle va alors être : [(56,2 / n) x (56,2 / (2n) ) / tan (180/n)] / 2
Soit plus simplement : 56,2² / (4 n² tan (180/n)).
Comme il y a n triangles, on obtient une aire totale de : 56,2² / (4 n tan (180/n))

Se peut-il que l'on ne se soit pas trompé dans tous ces calculs?! Remplaçons n par 3, 5 et 6 pour voir si on aboutit aux résultats précédents :
n = 3 : aire de 133,12 cm²
n = 5 : aire de 190,41 cm²
n = 6 : aire de 199,67 cm²
Assez concluant!

A l'aide d'un tableur on obtient :
n = 7 : aire de 205,19 cm²
n = 8 : aire de 208,74 cm²
n = 9 : aire de 211,16 cm²
n = 10 : aire de 212,88 cm²

... c'est de pire en pire! L'aire est de plus en plus grande!
Mais plus il y a de côtés, plus l'aire semble se rapprocher d'une même valeur (vers 220 cm²)... Le lecteur est invité à chercher à quoi correspond cette valeur limite, et à en rechercher une valeur exacte.

SVT

Recherche d'un protocole d'extraction de microfossiles d'une marne

Nous avons dans un premier temps travaillé en petits groupes, nous avons ensuite mis en commun le fruit de nos recherches afin d'élaborer un unique protocole validé par notre prof.

MATHEMATIQUES. Prisme à base de pentagone régulier?

La méthode de l'hexagone est elle utilisable?

Nous aurons cinq petits triangles dont un sommet est le centre du pentagone.

Sauf que ces triangles ne sont pas équilatéraux. Ils sont tout de même isocèles. Leur base est 52,6 / 5 = 10, 52 cm. Si on avait leur hauteur on pourrait obtenir leur aire en appliquant la formule : aire = base x hauteur / 2.

L'idée est de les couper en deux selon leur axe de symétrie. On obtient alors deux triangles rectangles ayant un sommet au centre du pentagone.

L'angle à ce sommet est : (360 / 5) / 2 = 36°.

Un peu de trigonométrie dans ce triangle rectangle fournit une hauteur de : 7,24 cm.

D'où l'aire d'un petit triangle : 10,52 x 7,24 / 2 soit à peu près 38,08 cm²

Comme il y en a cinq, on obtient l'aire du pentagone : 5 x 38,08 = 190,4 cm².

On est, cette fois-ci encore, bien au-delà des 100 cm² demandés!

Conclusion : le prisme ne peut pas être à base de pentagone régulier.