MATHEMATIQUES. Traitons les tous!

Résumons nous.
Nous avons essayé un prisme dont la base a 3 côtés (triangle), 4 côtés (carré), 5 côtés (pentagone), et 6 côtés (hexagone). Mais aucun n'a convenu. Il reste à voir les prismes dont la base a 7 (heptagone), 8 (octogone), 9, 10 (décagone)... côtés. Il y en a une infinité! L'année n'y suffira pas. Comment faire?
Ne pourrait-on pas traiter tous les cas en même temps? Impossible? Essayons, on verra.
On dit que le prisme a un polygone de base à n côtés, n étant un entier supérieur ou égal à 3.
La longeur de chaque côté est alors de 56,2 / n.
Notre polygone peut alors se décomposer, non pas en 6 ou 5 triangles, mais en n triangles isocèles de sommet le centre du polygone.
Or l'aire de chacun de ces triangles est : base x hauteur / 2.
La base on sait, est 56,2 / n.
Pour la hauteur, on fait un peu de trigonométrie dans un demi-triangle comme pour le pentagone. L'angle au sommet est naturellement 360/n. Et dans un demi-triangle ça va être 180 / n.
La hauteur sera alors : ( 56,2 / (2n) ) / tan (180/n).
L'aire d'un triangle va alors être : [(56,2 / n) x (56,2 / (2n) ) / tan (180/n)] / 2
Soit plus simplement : 56,2² / (4 n² tan (180/n)).
Comme il y a n triangles, on obtient une aire totale de : 56,2² / (4 n tan (180/n))

Se peut-il que l'on ne se soit pas trompé dans tous ces calculs?! Remplaçons n par 3, 5 et 6 pour voir si on aboutit aux résultats précédents :
n = 3 : aire de 133,12 cm²
n = 5 : aire de 190,41 cm²
n = 6 : aire de 199,67 cm²
Assez concluant!

A l'aide d'un tableur on obtient :
n = 7 : aire de 205,19 cm²
n = 8 : aire de 208,74 cm²
n = 9 : aire de 211,16 cm²
n = 10 : aire de 212,88 cm²

... c'est de pire en pire! L'aire est de plus en plus grande!
Mais plus il y a de côtés, plus l'aire semble se rapprocher d'une même valeur (vers 220 cm²)... Le lecteur est invité à chercher à quoi correspond cette valeur limite, et à en rechercher une valeur exacte.